Gravitaci cítíme celý život: každý krok, padající předmět i pohyb planet naznačují, že hmotná tělesa se navzájem přitahují. Einsteinova obecná teorie relativity však nabízí hlubší pohled. Gravitace není běžná síla působící „na dálku“, ale projev zakřivení časoprostoru.
Matematika této myšlenky není jen ozdoba: přesně určuje dráhu planet, ohyb světla, chod hodin i vznik gravitačních vln.
1. Od Newtona k Einsteinovi
Newtonův zákon gravitace říká, že dvě tělesa o hmotnostech \left(m_{1}\right) a \left(m_{2}\right), vzdálená od sebe r, se přitahují silou \left[F=G\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}},\right] kde G je gravitační konstanta. Zákon je mimořádně úspěšný. Umožňuje spočítat oběžné dráhy, příliv a odliv i pohyb družic. Neříká však, co gravitace je ani jak se její změna šíří prostorem. Einsteinův pohled lze shrnout větou: Energie a hmota říkají časoprostoru, jak se má zakřivit; zakřivený časoprostor říká hmotě, jak se má pohybovat. V tomto popisu planeta není Sluncem tažena neviditelným lanem. Pohybuje se co možná nejpřímočařeji v zakřiveném časoprostoru kolem Slunce.2. Časoprostor a interval
Ve speciální teorii relativity spojujeme tři prostorové souřadnice \left(x,y,z\right) a čas t do čtyřrozměrného časoprostoru. Základní geometrickou veličinou není samostatná vzdálenost ani samostatný čas, ale časoprostorový interval: \left[ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2.}\right] Znaménka zde závisejí na zvolené konvenci; fyzikální obsah je stejný. Důležité je, že různě se pohybující pozorovatelé mohou nesouhlasit v tom, jak dlouhý byl časový interval nebo prostorová vzdálenost, ale souhlasí v hodnotě \left(ds^{2}\right). Pro těleso pohybující se pomaleji než světlo definujeme vlastní čas (\tau), který ukazují hodiny nesené tímto tělesem: \left[d{\tau }^{2}=dt^{2}-\frac{dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{c^{2}}.\right] To už v sobě obsahuje speciální relativitu: rychle se pohybující hodiny mezi dvěma událostmi naměří méně vlastního času než hodiny v klidu vůči dané soustavě.3. Metrika: pravidlo pro měření v zakřiveném světě
V obecné teorii relativity už interval nemá všude stejný tvar. Geometrie časoprostoru je popsána metrickým tenzorem \left(g_{\mu \nu }\right):\left[ds^{2}=g_{\mu \nu },dx^{\mu }dx^{\nu }.\right] Indexy μ,ν nabývají hodnot (0,1,2,3), přičemž \left(x^{0}=ct\right). Einsteinův zápis automaticky sčítá opakované indexy, takže předchozí rovnice znamená součet přes všechny čtyři časoprostorové souřadnice. Metrika odpovídá na velmi konkrétní otázky: Jaká je vzdálenost mezi dvěma blízkými body? Kolik času naměří místní hodiny? Jaký úhel svírají dva směry? Které trajektorie jsou „přímé“? V plochém prázdném časoprostoru má metrika tvar \left(g_{\mu \nu }=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0\backslash 0 & 1 & 0 & 0\backslash 0 & 0 & 1 & 0\backslash 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\right). V blízkosti hmoty se její složky mění s polohou a právě tato změna je matematickým vyjádřením gravitace.4. Princip ekvivalence
Představme si výtah daleko ve vesmíru, který zrychluje vzhůru. Podlaha člověka tlačí směrem vzhůru a on má pocit tíhy, jako by na něj působila gravitace směrem dolů. V malém uzavřeném prostoru nelze lokálně rozlišit tento stav od stání na povrchu Země. Naopak volně padající výtah je lokálně beztížný. Předměty uvnitř se pohybují vedle sebe, jako by gravitace na chvíli zmizela. Toto je podstata principu ekvivalence: v dostatečně malé oblasti lze vždy zvolit souřadnice, v nichž gravitační účinky zmizí. Nelze je však odstranit v celé rozlehlé oblasti. Důvodem jsou slapové síly: dvě částice padající vedle sebe se mohou přibližovat nebo vzdalovat. To je přímý pozorovatelný projev zakřivení.5. Geodetiky: nejpřímější možné dráhy
V obyčejné rovině je nejkratší spojnice dvou bodů přímka. Na povrchu koule je geodetikou například část hlavní kružnice. Letadlo mezi Evropou a Severní Amerikou proto na mapě často neletí po přímce, ale po oblouku. V časoprostoru těleso, na které nepůsobí žádná jiná síla než gravitace, sleduje geodetiku. Matematicky ji určuje rovnice \left[\frac{d^{2}x^{\mu }}{d{\tau }^{2}}+{\Gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }\frac{dx^{\alpha }}{d\tau }\frac{dx^{\beta }}{d\tau }=0.\right] Symboly \left({\Gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }\right), zvané Christoffelovy symboly, se skládají z metriky a jejích prvních derivací: \left({\partial }_{\nu }g_{\alpha \beta }\right) Nejsou samy o sobě měřítkem zakřivení — lze je v jednom bodě vhodnou volbou souřadnic vynulovat. Udávají však, jak se v dané soustavě souřadnic mění „přímý“ směr. V plochém časoprostoru jsou \left({\Gamma }_{\alpha \beta }^{\mu }=0\right)a geodetická rovnice se zjednoduší na rovnoměrný přímočarý pohyb. V zakřiveném časoprostoru se objeví členy, které vypadají přesně jako gravitační zrychlení.6. Co znamená zakřivení
Skutečné zakřivení nelze odstranit změnou souřadnic. Zachytává jej Riemannův tenzor:
\left[R^{\rho}{}_{\sigma\mu\nu}=\partial_{\mu}\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}-\partial_{\nu}\Gamma^{\rho}_{\mu\sigma}+\Gamma^{\rho}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\sigma}-\Gamma^{\rho}_{\nu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu\sigma}\right]
Tato rovnice je formálně náročná, ale její význam je intuitivní: popisuje, co se stane, když se pokusíme přenést směr po dvou různých cestách v zakřiveném prostoru.
Pro fyziku gravitace je zvlášť důležitá rovnice geodetické deviace:
\left[-R^{\mu}{}_{\nu\alpha\beta}u^{\nu}\xi^{\alpha}u^{\beta}\right]
Vektor \left(\xi^{\mu}\right) spojuje dvě blízké volně padající částice a \left(u^{\mu}\right) je jejich čtyřrychlost.
7. Einsteinovy rovnice pole
Riemannův tenzor má mnoho složek, proto se z něj vytvářejí jednodušší veličiny: Ricciho tenzor \left(R_{\mu \nu }\right) a skalární křivost (R). Einstein pak sestavil tenzor \left(R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}Rg_{\mu \nu }\right), zvaný Einsteinův tenzor. Základní rovnice obecné relativity je \left(\frac{8\pi G}{c^{4}}T_{\mu \nu }\right). Na pravé straně stojí tenzor energie a hybnosti \left(T_{\mu \nu }\right). Ten zahrnuje nejen klidovou hmotnost, ale také energii záření, tlak, tok hybnosti a další formy energie. Kosmologická konstanta (\Lambda) popisuje vlastnost vakua, která se ve velkých kosmologických měřítcích projevuje jako zrychlené rozpínání vesmíru. Einsteinovy rovnice nejsou jedinou rovnicí, ale soustavou vzájemně propojených rovnic. Jejich řešením není obvykle jednoduchá křivka, ale celá geometrie časoprostoru.8. Jak se z Einsteinovy teorie vrací Newtonův zákon
Dobrá nová teorie musí v běžném limitu obsahovat starou úspěšnou teorii. Pro slabé gravitační pole a malé rychlosti lze metriku zapsat přibližně jako \left[g_{00}\approx -\left(1+\frac{2\Phi }{c^{2}}\right),\right] kde Φje Newtonův gravitační potenciál. Geodetická rovnice pak přechází na známý vztah -∇Φ. A Einsteinovy rovnice se redukují na Poissonovu rovnici \left[{\nabla }^{2}\Phi =4\pi G\rho ,\right] kde ρ je hustota hmoty. Pro bodovou hmotu (M) je \left[\Phi =-\frac{GM}{r},\right] z čehož bezprostředně vyplývá Newtonův zákon gravitace. Newtonova teorie tedy není chybná; je velmi přesným přiblížením v oblastech slabé gravitace.9. Čas kolem hmotného tělesa
Pro neotáčející se kulové těleso, například idealizované Slunce, je řešením Einsteinových rovnic Schwarzschildova metrika: \left[ds^{2}=-\left(1-\frac{2GM}{rc^{2}}\right)c^{2}dt^{2}+{\left(1-\frac{2GM}{rc^{2}}\right)}^{-1}dr^{2}+r^{2}d{\Omega }^{2.}\right] Zde \left(d{\Omega }^{2}\right) popisuje úhlovou část prostoru. Výraz \left[r_{s}=\frac{2GM}{c^{2}}\right] se nazývá Schwarzschildův poloměr. Pokud se celé těleso smrští pod tuto mez, vzniká horizont černé díry. Pro nehybné hodiny ve vzdálenosti (r) od tělesa platí přibližně \left(dt\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^{2}}}\right). Hodiny blíže k hmotnému tělesu tikají pomaleji. Ve slabém poli je rozdíl mezi dvěma výškami (h) nad Zemí přibližně \left[\frac{\Delta f}{f}\approx \frac{gh}{c^{2}}.\right] Je malý, ale měřitelný atomovými hodinami a technicky zásadní pro družicovou navigaci.10. Ohyb světla a pohyb Merkuru
Světlo má nulový vlastní čas, takže nepoužíváme parametr (\tau) stejným způsobem jako u hmotné částice. Přesto světelné paprsky sledují nulové geodetiky, pro něž \left[ds^{2}=0.\right] V blízkosti Slunce obecná relativita předpovídá pro paprsek míjející Slunce ve vzdálenosti b úhel ohybu \left[\Delta \varphi \approx \frac{4GM}{bc^{2}}.\right] Pro světlo těsně míjející sluneční okraj je to přibližně 1,75 úhlové vteřiny. U planety na eliptické dráze předpovídá OTR posun perihelia za jeden oběh \left[\Delta \varphi \approx \frac{6\pi GM}{a\left(1-e^{2}\right)c^{2}},\right] kde (a) je velká poloosa dráhy a (e) její výstřednost. U Merkuru tento efekt vysvětluje dříve neobjasněný příspěvek přibližně 43 úhlových vteřin za století.11. GPS: relativita v kapse
Hodiny na družicích GPS jsou výše v gravitačním poli, a proto běží rychleji než hodiny na Zemi. Současně se družice pohybují rychle, a speciální relativita jejich hodiny zpomaluje. Gravitační efekt převládá: výsledkem je, že družicové hodiny by bez korekcí předbíhaly pozemní hodiny přibližně o (38) mikrosekund za den. Taková odchylka by rychle vedla k navigační chybě řádově kilometrů denně. Relativistické opravy proto nejsou jemným akademickým detailem, ale součástí každodenní funkce GPS.12. Gravitační vlny
Pokud je gravitační pole slabé, lze metriku rozepsat jako malou odchylku od plochého časoprostoru: {\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\quad \quad \left|h_{\mu \nu }\right|\ll 1. Po zjednodušení Einsteinových rovnic se ukáže, že poruchy \left(h_{\mu \nu }\right) mohou splňovat vlnovou rovnici \left[\square h_{\mu \nu }=0,\right] kde (\Box) je časoprostorový operátor vlnění. Tyto poruchy se šíří rychlostí světla: jsou to gravitační vlny. Když gravitační vlna prochází detektorem, velmi nepatrně prodlužuje jeden směr prostoru a zkracuje kolmý směr. Přístroje LIGO takto v roce 2015 zaznamenaly signál odpovídající splynutí dvou černých děr. Typická relativní změna délky byla řádu \left[h\sim {10}^{-21}.\right] To znamená, že na kilometrovém rameni interferometru jde o změnu mnohem menší než rozměr protonu.13. Hranice teorie
Obecná relativita funguje výborně od laboratorních testů až po pohyb galaxií. Přesto není úplnou teorií přírody. V extrémních situacích, jako je střed černé díry nebo nejranější fáze vesmíru, její rovnice předpovídají singularity — místa, kde některé veličiny divergují a klasický popis ztrácí smysl. Současná fyzika proto hledá kvantovou teorii gravitace. Jejím cílem je popsat situace, v nichž jsou zároveň důležité velmi silné gravitační účinky a kvantové zákony.14. Co si odnést
Geometrie časoprostoru je popsána metrickým tenzorem \left(g_{\mu \nu }\right). Volně padající tělesa a světlo sledují geodetiky této geometrie. Skutečnou gravitaci, kterou nelze odstranit volbou souřadnic, odhalují slapové síly a Riemannův tenzor. Einsteinovy rovnice spojují zakřivení časoprostoru s energií, hybností, tlakem a hmotou. Newtonova gravitace je slabopolní, pomalorychlostní limit obecné relativity. Ohyb světla, posun perihelia Merkuru, gravitační dilatace času, GPS i gravitační vlny jsou ověřitelné důsledky této geometrie. Einsteinova teorie tedy neříká jen to, že hmota přitahuje hmotu. Říká něco pozoruhodnějšího: prostor a čas nejsou pasivní kulisou vesmírného dění. Jsou dynamickou součástí přírody.